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%第五周习题

%6.3. 维数、基与坐标
%6.4. 基变换与坐标变换
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%摘要 Week E Teaching Goal 
\newcommand{\EABSA}{维数、基与坐标。}
\newcommand{\EABSAa}{理解线性无关、线性相关的向量组的概念。}
\newcommand{\EABSAb}{理解线性空间的基的概念。}
\newcommand{\EABSAc}{判断线性空间的一个向量组是否为基。计算线性空间的维数。}
\newcommand{\EABSAd}{求向量在给定的基下的坐标。 }

\newcommand{\EABSB}{基变换与坐标变换。}
\newcommand{\EABSBa}{计算从一个基到另一个基的过渡矩阵。}
\newcommand{\EABSBb}{证明同一个向量在不同的基下的坐标之间的坐标变换公式。}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%讲解 Week E Teaching A-

%\item % 1
\newcommand{\ETA}{
\begin{enumerate}
\item  写出线性空间的基的定义。
\item  写出线性空间的维数的定义。
\item  写出向量在一个基下的坐标的定义。
\item  写出从第一个基到第二个基的过渡矩阵的定义。
\end{enumerate}
}

%\item % 1a
\newcommand{\ETAsol}{
{\color{red}解答：  
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}线性空间的一个极大线性无关组称为这个线性空间的一个基。}
\item  {\color{red}线性空间的一个基的向量个数称为这个线性空间的维数。}
\item  {\color{red}将这个向量用这个基线性表出。}
\item  {\color{red}将第二个基的每个向量用第一个基线性表出。}
\end{enumerate}
}
}


%\item % 2
\newcommand{\ETB}{
验证下述向量组都是实线性空间 $V=\mathbb{R}^n$ 的基。求向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 分别在这两个基下的坐标。
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1,0,\cdots,0), \\
\varepsilon_2 = (0,1,\cdots,0), \\
\cdots \\
\varepsilon_n = (0,0,\cdots,1). 
\end{cases}
\quad 
\begin{cases}
\eta_1 = (1,1,\cdots,1), \\
\eta_2 = (0,1,\cdots,1), \\
\cdots \\
\eta_n = (0,0,\cdots,1). 
\end{cases}
\]
}

%\item % 2a
\newcommand{\ETBsol}{
{\color{red}解答：证明这两个向量组都是线性无关的。解释 $\mathbb{R}^2$ 的情形。   }
}


%\item % 3
\newcommand{\ETC}{
设 $V=\mathbb{R}[x]_n$ 是次数小于 $n$ 的实系数多项式全体组成的线性空间，设 $a\in\mathbb{R}$. 验证向量组 \(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}\) 与向量组 \(1, x-a, (x-a)^2,\cdots, (x-a)^{n-1}\) 都是 $V$ 的基。求多项式 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$ 分别在这两个基下的坐标。求 $V$ 的维数。
}

%\item % 3a
\newcommand{\ETCsol}{
{\color{red}解答：证明这两个向量组都是线性无关的。证明任意向量都可以分别用这两个向量组线性表出。解释 $n=3$ 的情形。   }
}


%\item % 4
\newcommand{\ETD}{
设向量 $\alpha$ 在第一个基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 下的坐标是 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$, 使用过渡矩阵，求这个向量在第二个基 \( \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n \) 下的坐标。
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1,0,\cdots,0), \\
\varepsilon_2 = (0,1,\cdots,0), \\
\cdots \\
\varepsilon_n = (0,0,\cdots,1). 
\end{cases}
\quad 
\begin{cases}
\eta_1 = (1,1,\cdots,1), \\
\eta_2 = (0,1,\cdots,1), \\
\cdots \\
\eta_n = (0,0,\cdots,1). 
\end{cases}
\]
}

%\item % 4a
\newcommand{\ETDsol}{
{\color{red}解答：根据过渡矩阵的定义。根据坐标的定义。   }
}


%\item % 5
\newcommand{\ETE}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求向量 \(\xi= (1, 2, 1, 1) \) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 下的坐标，其中 
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1, 1, 1, 1), \\ 
\varepsilon_2 = (1, 1, -1, -1), \\ 
\varepsilon_3 = (1, -1, 1, -1), \\ 
\varepsilon_4 = (1, -1, -1, 1).  
\end{cases}
\]
}

%\item % 5a
\newcommand{\ETEsol}{
{\color{red}解答：根据坐标的定义。画出 $\mathbb{R}^2$ 时的图像。  }
}


%\item % 6
\newcommand{\ETF}{
求下列线性空间的维数与一个基。
\begin{enumerate}
\item 实数域 \( \mathbb{R} \) 上的线性空间 \( \mathbb{R}^{n \times n} \). 
\item \( \mathbb{R}^{n \times n} \) 中全体对称矩阵组成的线性空间。
\item 实数域上由矩阵 \( A \) 的全体实系数多项式 $f(A)$ 组成的空间，其中
\[
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & i \\
\end{pmatrix}.
\]
\end{enumerate}
}

%\item % 6a
\newcommand{\ETFsol}{
{\color{red}解答：确定向量的具体形式。找到一个极大线性无关组。   }
}


%\item % 7
\newcommand{\ETG}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求从基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 到基 \( \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 \) 的过渡矩阵，并求向量 \( \xi =(x_1, x_2, x_3, x_4) \) 分别在这两个基下的坐标，再验证坐标变换公式。其中 
\vspace{-0.3cm} 
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1,0,0,0), \\
\varepsilon_2 = (0,1,0,0), \\
\varepsilon_3 = (0,0,1,0), \\
\varepsilon_4 = (0,0,0,1). 
\end{cases}
\quad 
\begin{cases}
\eta_1 = (2,1,-1,1), \\
\eta_2 = (0,3,1,0), \\
\eta_3 = (5,3,2,1), \\
\eta_4 = (6,6,1,3). 
\end{cases}
\]
}

%\item % 7a
\newcommand{\ETGsol}{
{\color{red}解答：根据过渡矩阵的定义。根据坐标的定义。二维画图。   }
}


%\item % 8
\newcommand{\ETH}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求一非零向量 \( \xi \)，它在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 与 \( \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 \) 下有相同的坐标，其中 
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1,1,1,1), \\
\varepsilon_2 = (1,1,-1,-1), \\
\varepsilon_3 = (1,-1,1,-1), \\
\varepsilon_4 = (1,-1,-1,1), \\
\end{cases}
\quad 
\begin{cases}
\eta_1 = (1,1,0,1), \\
\eta_2 = (2,1,3,1), \\
\eta_3 = (1,1,0,0), \\
\eta_4 = (0,1,-1,-1). 
\end{cases}
\]
}

%\item % 8a
\newcommand{\ETHsol}{
{\color{red}解答：根据坐标的定义。   }
}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%习题 Week E Exercise A-

%\item  %7. 
\newcommand{\EEA}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求向量 \(\xi = (0, 0, 0, 1) \) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 下的坐标，其中 
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1, 1, 0, 1), \\ 
\varepsilon_2 = (2, 1, 3, 1), \\
\varepsilon_3 = (1, 1, 0, 0), \\ 
\varepsilon_4 = (0, 1, -1, -1). 
\end{cases}
\]
}

%\item  %8. 
\newcommand{\EEB}{
求下列线性空间的维数与一个基。
\begin{enumerate}
\item \( \mathbb{R}^{n \times n} \) 中全体反对称矩阵组成的空间。
\item 实数域上由矩阵 \( A \) 的全体实系数多项式组成的空间，其中
\[
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \omega & 0 \\
0 & 0 & \omega^2
\end{pmatrix}, \quad \omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}.
\]
\end{enumerate}
}



%\item  %9. 
\newcommand{\EEC}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求从基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 到基 \( \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 \) 的过渡矩阵，并求向量 \( \xi = (1,0,0,0) \) 分别在这两个基下的坐标，再验证坐标变换公式。这里 
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1,2,-1,0), \\
\varepsilon_2 = (1,-1,1,1), \\
\varepsilon_3 = (-1,2,1,1), \\
\varepsilon_4 = (-1,-1,0,1). 
\end{cases}
\quad 
\begin{cases}
\eta_1 = (2,1,0,1), \\
\eta_2 = (0,1,2,2), \\
\eta_3 = (-2,1,1,2), \\
\eta_4 = (1,3,1,2). 
\end{cases}
\]
}


%\item  %10. 
\newcommand{\EED}{
在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求一非零向量 \( \xi \)，它在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 与 \( \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 \) 下有相同的坐标，其中 
\[
\begin{cases}
\varepsilon_1 = (1,0,0,0), \\
\varepsilon_2 = (0,1,0,0), \\
\varepsilon_3 = (0,0,1,0), \\
\varepsilon_4 = (0,0,0,1). 
\end{cases}
\quad 
\begin{cases}
\eta_1 = (2,1,-1,1), \\
\eta_2 = (0,3,1,0), \\
\eta_3 = (5,3,2,1), \\
\eta_4 = (6,6,1,3). 
\end{cases}
\]
}



